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根心与根轴

2022-08-10 20:31:00 【lvshu】

例题 2.1.1 在凸五边形中，，，为五边形内一点，使得，，证明：

证法一：

由射影定理，，

故是与的根轴

而的圆心在线段上，所以

证法二：

故是与的根轴

而与的连心线平行于，所以

例题 2.1.2 在中， < ，点分别是边的中点的内切圆圆心为，且与边相切与点，直线经过线段的中点且与垂直，与直线交于点，证明：

证：

记的外接圆为圆，记以为圆心，为半径的圆为圆

易知圆的圆心为的外接圆中的中点

由对称性，分别于关于直线对称

因此，点在圆与圆的根轴上，类似地，点也在这两圆根轴上

从而直线即为这两个圆的根轴

又因为直线是点圆与圆的根轴

故点是点圆，圆，圆的根心，直线即为点圆与圆的根轴

而事实上，点圆与圆的根轴为圆在点处的切线，与垂直

所以

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